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隐藏在概率背后的冷常识(1)——赌徒输光定理

时间:2019-11-11    点击: 次    来源:赌徒输光定理 概率论 马尔可夫链    作者:赌徒输光定理 概率论 马尔可夫链 - 小 + 大

隐藏在概率背后的冷常识(1)——赌徒输光定理

1、背景介绍

赌徒输光定理:在“公平”的赌博中,任意一个拥有赌本的赌徒和一个拥有无限赌本的赌徒进行长期赌博,那么有限赌本的赌徒输光的概率是100%。

2、核心概念

马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围,即他们所有可能取值的集合,被称为“状态空间”,而的值则是在时间的状态。如果对于过去状态的条件概率分布仅是的一个函数,则,这里为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
因此:有两个结论
(1)、时刻系统状态的概率分布只与时刻的状态有关,与时刻以前的状态无关;
(2)、从时刻到时刻的状态转移与的值无关。

3、证明过程

建立一个通用模型,两个赌徒甲,乙进行赌博,甲获胜的概率是,乙获胜的概率是,每一局输者要付给胜者1元,开始时,甲的资本为,乙的资本为,直到甲或乙输光,赌博结束,求甲获得所有资本的概率?

为资金在情况下,资金变为的概率,后面简写为,易知,根据之前的结论可以分析出:

所以,当甲、乙双方获胜概率相等时,甲获得所有资本的概率为,乙获得所有资本的概率为。因此当一方资本有限,一方资本无限时,资本无限一方获得所有资本的概率时100%。

4、结论

(1)、若甲乙赌本相同,每次获胜概率也相等,那么输光的概率也相等。
(2)、若甲乙每次获胜概率相等,那么谁的赌本多,谁赢的概率就大。
(3)、若一方赌本无限,另一方必定输光。

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